Меню

Вывести формулу гармонического колебания

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник — это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине длиной .

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести уравновешивается упругой силой :

где – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x = 0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным . По закону Гука проекция результирующей силы на ось ОХ будет тогда равна

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона:

Его можно также представить в виде:

Математический маятник

Математический маятник это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Соответственно, уравнение движения этой материальной точки имеет вид

.

Проецируя его на направления нормали и касательной к траектории (окружности радиуса ), получаем

Модуль скорости равен , учитывая, что при движении точки к положению равновесия угол убывает, а скорость точки растет, напишем

.

Тогда второе из написанных выше уравнений движения приобретает вид

При малых отклонениях маятника от вертикали, когда ,

Физический маятник

Физический маятник это протяженное колеблющееся тело, закрепленное на оси. Его размеры таковы, что его невозможно рассматривать как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса и центром масс C маятника.

Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков и можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

Ограничимся рассмотрением малых отклонений от положения равновесия:

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен

и мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим цилиндр с площадью поперечного сечения , в который вставлен поршень массы (рис. 1.5). Под поршнем в цилиндре идеальный газ с показателем адиабаты , над поршнем воздух с постоянным (атмосферным) давлением . Поршень может двигаться в цилиндре вверх и вниз без трения. Будем считать, что в равновесии объем идеального газа под поршнем равен и изменения объема газа, обусловленные движением поршня, происходят адиабатно, то есть без теплообмена со стенками цилиндра и поршнем.

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

В состоянии равновесия давление в газе под поршнем складывается из атмосферного давления и давления , оказываемого поршнем. Обозначим это результирующее давление :

Переместим поршень на расстояние x вверх. Объем сосуда увеличится и станет равным

Соответственно уменьшится давление. В силу предположения об отсутствии теплообмена, новое давление в газе можно найти из уравнения адиабаты Пуассона

Здесь — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда изменение объема газа много меньше его «равновесной» величины , то есть когда

выражение (1.11) можно разложить в ряд Тейлора:

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления , сила давления газа под поршнем и сила тяжести . Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей этих сил:

Используя (1.13), уравнение движения поршня

Источник

ЛЕКЦИЯ №5 ТЕМА «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ» План лекции

ТЕМА: «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ»

Колебательное движение. Гармоническое колебание.

Скорость и ускорение гармонического колебания.

Энергия гармонического колебательного движения.

Свободные колебания. Гармонический осциллятор.

Пружинный, математический и физический маятники.

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.

Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Колебательное движение. Гармоническое колебание.

Вывод уравнения гармонического колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Колебаниями называется процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качели, ветка дерева, фазы луны, морские приливы и отливы, пульсовая волна, сердце, гортань…). В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными . Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе таких отраслей техники как электротехника, радиотехника и.т.д).

Во многих случаях колебания играют негативную роль (вибрации крыльев самолёта, корпусов судов, зданий и сооружений из за резонанса с работающим там оборудованием), что необходимо учитывать при их изготовлении.

В зависимости от физической природы колебания бывают механические и электромагнитные . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему, различают: свободные, (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободные колебания , совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. (Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями.).

Вынужденные — система подвергается воздействию внешней, периодически изменяющийся силы (колебание моста при прохождении солдат, идущих в ногу).

Автоколебания — система сама управляет внешним воздействием (маятник часов получает толчки в момент прохождения её через среднее положение).

Параметрические колебания — происходит периодическое изменение какого- либо параметра системы за счет внешнего воздействия (например длины нити математического маятника).

Простейшими являются гармонические колебания – происходящие по закону sin и cos.

Этот вид колебаний важен по двум причинам:

колебания в природе и технике часто близки к гармоническому.

иные периодические процессы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Выведем уравнение гармонического колебания при помощи установки, состоящей из экрана и вращающегося диска с закреплённым на нём непрозрачным шариком.

Пусть материальная точка М движется против часовой стрелки по окружности радиусом А . Тогда её проекция на экране совершает периодические колебания около положения равновесия в пределах от А до -А .

Выразим величину смещения x в любой момент времени:

— уравнение гармонического колебания.

Так как диск вращается с угловой скоростью w , то . Подставим значение в уравнение гармонического колебания:

— уравнение гармонического колебания.

Если диск совершает полный оборот ;

Основные характеристики гармонического колебания:

1 x — смещение- отклонение от положения равновесия в данный момент времени (может быть >0 и 2 A – амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.

3 T- период — совершения одного полного колебания.

4 wt — фаза колебания — характеризует состояние колебательной системы в любой заданный момент времени.

5 v — частота- число колебаний в единицу времени.

Если к началу наблюдения фаза имела некоторое начальное значение , то уравнение запишется:

— гармоническое колебание с начальной фазой.

2.Скорость и ускорение гармонического колебания.

Скорость — гармонических колебаний есть первая производная смещения по времени.

Известно, что скорость для гармонического колебания скорость определяется следующим образом ;

-скорость гармонического колебания.

— ускорение при гармоническом колебании.

Колебательное движение выполняется под действием силы, которая может быть определена по второму закону Ньютона: , но ускорение при гармонических колебаниях определяется по формуле , подставим значение ускорения во второй закон Ньютона, то , но , то

— сила действующая на колеблющееся тело.

Она пропорциональна смещению, знак «-» указывает на, то что сила направлена в противоположную сторону относительно смещения.

— квазиупругая сила, вызывающая колебательные движения.

3.Энергия гармонического колебательного движения.

Квазиупругая сила является консервативной и поэтому полная механическая энергия системы остаётся постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причём в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии , которая достигает своего максимального значения.

При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит только из кинетической энергии, которая достигает своего максимума.

4.Свободные колебания. Гармонический осциллятор.

Если колебания совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии и

в дальнейшем внешнее воздействие на колебательную систему отсутствует, то такие колебания называются свободными. Система, движущая под действием упругой среды называется одномерным осциллятором.

Известно, что ускорение при гармоническом колебании определяется следующим образом:

или (2) – система, движения которой описывается уравнением (2) описывает движение гармонического осциллятора.

Который служит важным примером периодического движения и служит точкой или приближенной моделью для решения многих задач, как классических так и квантовых функций.

5. Пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник — это груз массой m подвешенный на упругой пружине и совершающий гармонические колебания.

Колебания маятника совершаются под действием угловой силы. , k — коэффициент упругости, а в случае с пружиной он называется коэффициентом жёсткости.

Уравнение движения маятника записывается:

Ускорение- это вторая производная смещения по времени:

Разделим обе части уравнения на m, то получим

Сравним между собой уравнения (2) и (4), очевидно, что , а , ; — период колебания, подставим в формулу периода колебания значение w , через k и m, то ,

— период колебания пружинного маятника.

Физический маятник — твёрдое тело способное совершать колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс.

Из основного уравнения динамики вращательного движения

Для малых колебаний можно поучить

Разделим уравнение (3) на J

Введём обозначение , получим уравнение

, которое аналогично полученному ранее.

Период колебания физического маятника

Математический маятник — материальная точка подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Реальный маятник, у которого масса тела во много раз больше массы нити, а размеры тела во много раз меньше длинны нити, можно считать математическим.

Учитывая, что момент силы тяжести и момент инерции точки

, из динамического уравнения вращательного движения получим: .

Разделим уравнение (4) на ml 2 , получим

Период колебания математического маятника

Мы приходим к выводу, что во всех случаях колебания описываются одним и тем же уравнением , совпадающим с уравнением движения гармонического осциллятора.

6. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Вынужденными колебаниями называется незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на неё внешних сил , периодически изменяющихся с течением времени.

Сила, вызывающая вынужденные колебания, называется возмущающий (вынуждающий) силой.

Вынуждающая сила изменяется по закону:

F 0 — амплитуда вынуждающей силы, w — циклическая частота.

Под действием этой силы в системе устанавливаются гармонические колебания с циклической частотой w .

Где A — амплитуда вынужденных колебаний смещения. — разность фаз между вынужденными колебаниями и силой F(t) .

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей силы и её частоты, зависимость амплитуды колебаний от частоты приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда вынужденного колебания достигает максимального значения. Это явление получило название резонанса , а соответствующая частота- резонансной частоты .

, то A достигнет максимального значения при частоте

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению w рез – называется резонансом , w рез – резонансная циклическая частота.

При наличии трения резонансная циклическая частота w рез несколько и меньше w 0 .

Форма резонансных кривых зависит от значения . Чем больше , тем более пологими становятся кривые.

Примеры резонанса: явление резонанса используется в акустике- для анализа звуков, их усиления и.т.д.

Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и различных сооружениях могут возникнуть явления резонанса, которые могут быть опасны для эксплуатации машин.

Автоколебания — Колебательная система, совершающая незатухающие колебания за счёт источника энергии, не обладающего колебательными свойствами- называется автоколебательной системой . Пример: часы с анкерным ходом.

Ходовое колесо с косыми зубьями жёстко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей.

На одном конце маятника закреплены анкер- якорёк с 2-мя паллётами. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник балансиром – маховичком, скреплённым со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания относительно своей оси.

Источником энергии является поднятая вверх гиря или сжатая пружина.

Когда маятник проходит положение равновесия и имеет v max , зуб ходового колеса сталкивается с концом паллеты и подталкивает маятник. Энергия передаётся порциями. За полупериод анкер позволяет ходоовму колесу повернутся на 1 зубец.

Примеры автоколебаний: часы, паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, отбойные молотки, электрические звонки, смычёк для скрипки, воздушные столбы в духовых инструментах, языки в баянах и аккордионах, голосовые связки при разговоре.

7. Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.

В лаборатории электроакустики в Марселе испытывали генератор, создававший акустические волны с частотой 7 Гц (инфразвук), люди испытывали сильные внутренние боли, нарушение координации движений и зрения. Оказалось, что инфразвук действует на вестибулярный аппарат, собственная частота которого 2…20 Гц; он переходит в резонансные колебания, нарушающие деятельность вестибулярного аппарата.

Инфразвук также вызывает вынужденные колебания различных органов, каждый из которых обладает собственной частотой.

Некоторые из них, такие как печень, почки, сами по себе не совершают колебательных движений, но под действием внешней периодической силы могут войти с ней в резонанс. Медики обратили внимание на опасный резонанс брюшной полости (4…8 Гц). Резонансные явления раздражают рецепторы, передающие информацию в нервные центры. Таким образом, создаются рефлекторные реакции организма на раздражитель. Это сопровождается ощущением боли, неприятными ощущениями, затруднением дыхания.

Особенно вредны резонансные явления для сердца. Это приводит к расширению кровеносных сосудов и кровоизлияниям. Если резонансные колебания находятся в противофазе, то возможны торможение кровообращения, остановка сердца.

Некоторые исследователи указывают на психическое действие инфразвука. У облученных им людей поражаются все виды интеллектуальной деятельности, появляется чувство тревоги, страха. Такие же явления имеют место и у животных. (Источники – двигатели, компрессоры, электродойки.) Отрицательное воздействие на молокоотдачу и многие физиологические функции сельскохозяйственных животных.

8. Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Решение ряда задач значительно облегчается при использовании метода векторных диаграмм.

В основе метода лежит понятие вращающегося вектора.

Возьмем ось x и из точки О отложим вектор x 0 под углом к оси x. Если привести вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось x будет перемещаться по оси x в пределах от до , при этом координата будет изменяться по закону . Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора и частотой равной угловой скорости вращения .

Сложение колебаний, происходящих вдоль одной прямой.

Пусть точка совершает два колебания, происходящие вдоль одной прямой с одинаковой частотой, описываемых уравнениями:

Представив оба колебания в виде векторов и сложив их по правилу сложения векторов можно получить результирующее колебание. Это вектор, проекция которого на ось X равна сумме проекций исходных колебаний. .

Запишем результирующее колебание в виде

Частные случаи сложения колебаний

2) ; n= 0,1,2… , тогда

3) Частоты двух слагаемых колебаний не совпадают друг с другом, но мало отличаются

Тогда слагаемые колебания будут представлены так :

, а их сумма , где

Такие колебания называются биениями . Множитель измеряется гораздо медленнее, чем второй множитель. Так как , за время, в течение которого множитель совершает несколько колебаний, почти не изменяется.

Это даёт нам право рассматривать результирующее колебание как гармоническое частоты w , амплитуда которого медленно изменяется по некоторому закону. Такие колебания называются пульсациями .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Допустим, что материальная точка будет совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если возбудить оба эти колебания, то точка будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз складываемых колебаний. Пусть колебания заданы уравнениями:

(2), которые являются координатами движущейся точки, заданными в параметрической форме. Исключив из этих уравнений параметр t , получим уравнение траектории точки. Сделаем некоторые математические преобразования: , , , .

Развернём cos в уравнение (2) по формуле для косинуса суммы:

, подставим вместо и их значения, получим , после преобразования получим :

. Это уравнение эллипса.

Это уравнение представляет собой общее уравнение траектории материальной точки, совершающей два взаимно перпендикулярных колебания.

Рассмотрим частные случаи:

1) , , тогда , — это прямая проходящая через начало координат.

2 ) — это эллипс, если a = b ,то это окружность.

3) Если частоты колебаний не совпадают, то траектория имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурными Лиссану . Например

Источник

Читайте также:  Как отстирать запах рвоты с ковра