Меню

Выведите формулу пуазейля при каких условиях ее применяют

Формула Пуазейля

Течение вязких жидкостей и газов в трубах.

При течении реальных жидкостей слои в этих жидкостях движутся с различными скоростями. Вблизи стенки канала (трубы), в котором течет жидкость, скорость течения намного меньше, чем вдали от нее. Из слоя газа с большой скоростью движения переносится импульс (ко­личество движения) к слою, движущемуся с меньшей скоростью. За счет передачи импульса от одного слоя к другому поперек движения скорость движения слоев уменьшается.

Рассмотрим течение жидкости вблизи плоской поверхности (рис.6.3). В направлении, перпендикулярном оси X, скорость движения во всех точках одинакова. Это значит, что скорость υявляется функцией только х. Как показывает опыт, импульс P, переносимый в единицу времени через единицу площади сечения, перпендику­лярного оси X, определяется уравнением

, (6.10)

где — градиент скорости вдоль оси X, характеризующий быстроту изменения скорости вдоль этой оси (изменение скорости на каждую единицу длины). Знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости. Коэффициент h — коэффициент динамической вязкости, который зависит от свойств газа или жидкости.

Вязкость проявляется в том, что любой слой газа или жидкости, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы. Эта сила и представляет собой силу трения между слоями газа.Уравнение (6.10) следует поэтому записать в виде

, (6.11)

Выражение (6.11)закон Ньютона для вязкого течения жидкости или газа.

Коэффициент динамической вязкости h согласно (6.11) численно равен силе трения между слоями площадью 1 м 2 при величине гра­диента скорости (в направлении, перпендикулярном к слоям), равном единице (1 м/сек на 1 м длины). Размерность h в СИ [h]= Па · с (паскаль-секунда).

В случае стационарного ламинарного течения жидкости по трубке небольшого радиуса R объем жидкости, протекший за секунду через сечение трубки прямо пропорционален разности давлений p1 и p2 у входа в трубку и на выходе из нее, четвертой степени радиуса R трубки и обратно пропорционален длине l трубки и коэффициенту вязкости h

, (6.12)

где Vсек – секундный расход жидкости. Соотношение (6.12) представляет собой формулу Пуазейля. Формула Пуазейля используется для определения коэффициента динамической вязкости сред η путем измерения объема V вытекающей жидкости за некоторое время t при заданном перепаде давлений. Этот метод называется вискозиметрическим.

Пример 6.2. Вывод формулы Пуазейля с помощью закона Ньютона для вязкого трения

Выделим объем жидкости или газа в виде цилиндра длиной l и радиусом r. При стационарном течении с постоянной скоростью сумма всех сил, действующих на выделенный объем, равна нулю. На данный объем действуют сила вязкого трения Fтр, , которая уравновешивается силой Fд, возникающей из-за перепада давления на длине трубки (рис. 6.4).

Сила Fтр, действует вдоль поверхности выделенного цилиндра с площадью S = 2plr и согласно закону Ньютона (6.11) равна

. (6.13)

.

Так как Fтр,по модулю равна силе Fд, то приравнивая два последних выражения, получим

Читайте также:  Как отбелить эффективно белую футболку

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим распределение скорости течения в радиальном направлении:

.

Постоянную С определим из условия равенства нулю скорости на стенке трубы:

.

С учетом последнего равенства:

. (6.14)

Объем жидкости dV, протекший за секунду через кольцевое сечение шириной dr (рис. 5-4), с учетом (6.14) равен:

.

Интегрирование последнего соотношения в пределах от 0 до R приводит к формуле (6.12).

Источник

Основы гемодинамики

Поделитесь этим или сохраните на стену

Это серия видео, плейлист из 7 коротких видео, каждое из которых посвящено отдельному вопросу физики тока крови. Эти вопросы — самые элементарные для начинающих изучать гемодинамику. Видео записаны мной в самом начале 2019 года. У меня есть мечта — вернуться к этой теме и записать это более качественно и доступно, чтобы не приходилось останавливать и вникать в формулы. Но какое-то время я намерен плотно заниматься работой для клиницистов. Возможно, всё ещё впереди.

Содержание плей-листа

1. Формула Пуазёйля

Формула пуазёйля — это уравнение, выражающее прямую пропорциональность перепада давления вдоль трубки её длине, скорости потока через трубку, вязкости жидкости, и обратную пропорциональность этого перепада четвертой степени внутреннего радиуса при условии, что скорость потока, выраженного в единицах объема на единицу времени, постоянна, а трубка имеет жесткие стенки, круглое сечение и один диаметр. В сообщении имеется вывод формулы Пузёйля, как самое распространённое, так и вывод по Лэмбу. Обсуждается применимость формулы Пуазёйля к гемодинамике. В капиллярах закон Пуазёйля не всегда выполняется. Известен так называемый эффект Фарейес-Линквиста (Fåhræus–Lindqvist effect) [1].

2. Вязкость крови

Вязкость крови — это биофизическое свойство крови, определяющее сопротивление потоку, и являющееся критическим фактором сосудистого сопротивления, преднагрузки, постнагрузки и перфузии тканей. Вязкость крови измеряют в паскаль-секундах (Па·с). Увеличение вязкости связано с уменьшением кровотока и повышением артериального давления и сосудистого сопротивления, тогда как уменьшение вязкости оказывает противоположный эффект. В видео объясняется соотношение вязкости, давления и объёма (плюс напряжение сдвига, скорость сдвига, к которым в настоящее время снова повысился интерес [2]). Рассматриваются типы жидкостей — ньютоновская, неньютоновская, бингамовская. Аномалии вязкости, Гематокрит — и остальное, вы увидите наглядно.

3. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли — это количественное выражение принципа Бернулли, являющееся теоретическим описанием поведения так называемой идеальной жидкости (несжимаемой жидкости, у которой нет вязкости), утверждающего, что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением давления или уменьшением потенциальной энергии жидкости. Принцип является одним из основополагающих в гидродинамике, а следовательно и в гемодинамике. Примером практического использования в медицине может служить расчет чрезклапанного перепада давления, получаемый неинвазивно [3].

4. Боковое давление

Боковое давление — это давление, оказываемое заданным объемом жидкости при потоке в трубке, на её стенки, при исключении гравитационного потенциала и кинетической энергии этого объема. Концепция бокового давления возникла из принципа Бернулли. В гидромеханике чаще употребляют термин «статическое» давление. В гемодинамике это давление обсуждалось в научной литературе [4] в середине прошлого века, но широкого практического применения в медицине измерение бокового давления крови не получило.

Читайте также:  Как отстирать пятна от пота содой

5. Закон Торричелли

Закон Тoрричелли — это теорема в гидродинамике, связывающая скорость жидкости, вытекающей из отверстия, с высотой жидкости над отверстием. В видео имеется вывод уравнения Торричелли из уравнения Бернулли. В комментариях на Ютубе имеется небольшая, но интересная дискуссия. Наиболее важное клиническое использование уравнений из видео (или их модификаций) произошло в допплеровской эхокардиографии, в расчете градиента давления в суженных частях сердечно-сосудистой системы [5].

6. Гемодинамика в бифуркациях (основы)

Гемодинамика в бифуркациях — это физика тока крови через разветвляющиеся сосуды, в наиболее простом случае описывающая отношения между градиентом давления, скоростью потока и внутренним просветом в родительском стволе и дочерних ветвях. Изучается с использованием закона Мюррея и уравнения Дина. С геометрией артерий связано наличие атеросклеротических бляшек.

7. Что определяет сердечный выброс?

А про это видео подробности мной уже написаны здесь.

Литература:

1. Toksvang LN, Berg RM. Using a classic paper by Robin Fahraeus and Torsten Lindqvist to teach basic hemorheology. Adv Physiol Educ. 2013 Jun;37(2):129-33 [Pubmed]

2. Oshinski JN, Curtin JL, Loth F. Mean-average wall shear stress measurements in the common carotid artery. J Cardiovasc Magn Reson. 2006;8(5):717-22 [Pubmed]

3. Donati F, Myerson S, Bissell MM, et al. Beyond Bernoulli: Improving the Accuracy and Precision of Noninvasive Estimation of Peak Pressure Drops. Circ Cardiovasc Imaging. 2017 Jan;10(1). pii: e005207 [Pubmed]

4. Badeer HS. Hemodynamics for medical students. Adv Physiol Educ. 2001 Dec;25(1-4):44-52. Review. [Pubmed]

5. Poh KK, Levine RA, Solis J, et al. Assessing aortic valve area in aortic stenosis by continuity equation: a novel approach using real-time three-dimensional echocardiography. Eur Heart J. 2008 Oct;29(20):2526-35 [Pubmed]

Источник

Вопрос 24 Условия применимости закона Пуазейля. Формула Пуазейля. Гидравлическое сопротивление

Формула Пуазейля — аналитическое выражение закона Пуазйля): При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

Где p1 − p2 = Δp — перепад давления на концах капилляра, Па; Q — секундный объёмный расход жидкости, м³/с; R — радиус капилляра, м;d — диаметр капилляра, м; η — коэффициент динамической вязкости, Па·с; l— длина трубы, м. Из формулы Пуазейля следует, что объёмы жидкостей, протекающих за равные промежутки времени по одинаковым капиллярам, обратно пропорциональны вязкостям этих жидкостей.

Формула используется для определения вязкости жидкостей. Уравнение Пуазйля справедливо для сегмента жёсткой цилиндрической трубки при ламинарном токе неньютоновской жидкости.

Читайте также:  Чем стирать нижнее белье после покупки

Применим только при ламинарном течении жидкости и при условии, что длина трубки превышает т. н. длину нач. участка, необходимую для развития ламинарного течения в трубке. Течение, подчиняющееся П. з., паз. течением Пуазёйля; оно характеризуется параболич. распределением скорости по радиусу трубки д : где и- скорость на расстоянии r от оси, u макс — скорость на оси трубки. В ламинарном течении, подчиняющемся П. з., в каждом поперечном сечении трубки ср. скорость вдвое меньше макс. скорости u макс в этом сечении. П. з. применяется для определения коэф. вязкости разл. жидкостей при разл. темп-pax посредством капиллярных вискозиметров.

Проведём аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока – объёму жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление – Гидравлическому сопротивлению. X=8nl/пR 4

.Гидравлическое сопротивление-сопротивление движению тела со стороны обтекающей его жидкости или сопротивление движению жидкости, вызванное влиянием стенок труб, каналов и т.д

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость, длина трубы и меньше площадь поперечного сечения

Электричество и магнетизм. Основы медицинской электроники

Вопрос 37 Принцип действия электронного усилителя, принципиальная схема на транзисторе

Усилителями электрических сигналов или электронными усилителями называют устройства, увеличивающие эти сигналя за счёт энергии постороннего источника.Усилитель представляет собой в общем случае последовательность каскадов усиления (бывают и однокаскадные усилители), соединённых между собой прямыми связями. В большинстве усилителей кроме прямых присутствуют и обратные связи (межкаскадные и внутрикаскадные). Отрицательные обратные связи позволяют улучшить стабильность работы усилителя и уменьшить частотные и нелинейные искажения сигнала. В некоторых случаях обратные связи включают термозависимые элементы (термисторы, позисторы) — для температурной стабилизации усилителя или частотнозависимые элементы — для выравнивания частотной характеристики. Некоторые усилители (обычно УВЧ радиоприёмных и радиопередающих устройств) оснащены системами автоматической регулировки усиления (АРУ) или автоматической регулировки мощности (АРМ). Эти системы позволяют поддерживать приблизительно постоянный средний уровень выходного сигнала при изменениях уровня входного сигнала.Между каскадами усилителя, а также в его входных и выходных цепях, могут включаться аттенюаторы или потенциометры — для регулировки усиления, фильтры — для формирования заданной частотной характеристики и различные функциональные устройства — нелинейные и др. Как и в любом активном устройстве в усилителе также присутствует источник первичного или вторичного электропитания или цепи, через которые питающие напряжения подаются с отдельного блока питания.

Каскад усиления — ступень усилителя, содержащая один или несколько усилительных элементов, цепи нагрузки и связи с предыдущими или последующими ступенями.В качестве усилительных элементов обычно используются электронные лампы или транзисторы (биполярные, полевые), иногда, в некоторых специальных случаях, могут применяться и двухполюсники, например, туннельные диоды (используется свойство отрицательного сопротивления) и др.

Источник