Меню

Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по его координатам

Расстояния между двумя точками

На данной странице калькулятор поможет рассчитать расстояние между двумя точками онлайн в плоскости и пространстве. Для расчета задайте координаты.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, которая соединяет эти точки.

Расстояния между двумя точками

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник

Javascript: вычисление расстояния между двумя точками на поверхности Земли

Расстояние на плоскости

Учитывая положение X и Y на плоскости, расстояние между двумя точками можно вычислить, используя теорему Пифагора.

Уравнение для которой выглядит так:

Теперь это можно преобразовать в код:

Во-первых, javascript предоставляет объект Math , который является основной утилитарной библиотекой. Начнём из внутренностей уравнения:

Здесь на самом деле понадобится расчёт абсолютной величины разности, например:

Затем, результат нужно возвести в квадрат с помощью функции Math.pow() :

Полученное для x и y надо сложить и получить квадратный корень с помощью Math.sqrt() . Полное уравнение в Javascript будет выглядеть следующим образом:

Этого будет достаточно для плоскости, но результат будет совершенно неточным при вычислении расстояния для поверхность Земли, которая по сути является сферой (сплюснутый сфероид).

Расстояние на поверхности сферы

Чтобы рассчитать точнее, потребуются два дополнительных уравнения.

Во-первых, понадобится способ вычисления угла между двумя точками от центра сферы, за которым последует уравнение для вычисления расстояния между двумя точками с учетом центрального угла (результат предыдущего уравнения). Используем математические формулы, чтобы реализовать оба. Начнем с вычисления угла между двумя точками от центра.

  • Δ (delta) представляет разницу
  • σ — центральный угол, который надо вычислить
  • arcos или обратный косинус (cos в степени -1) в Javascript представлен Math.acos()
  • Φ значение широты
  • λ значение долготы

Преобразуем это уравнение в код. Но, прежде чем приступим, следует обратить внимание, что придётся иметь дело с радианами, а не с градусами, поскольку это гораздо более точный способ измерения углов, и что более важно, тригонометрия Javascript работает не в градусах, а в радианах.

Для реализации преобразования понадобятся следующие функции:

Затем все, что останется сделать, это поместить оставшуюся часть уравнения в функцию, использующую тригонометрические утилиты Javascript Math. Функция будет выглядеть примерно так:

Следующее, что нужно будет рассчитать, — это расстояние до дуги centralSubtendedAngle . Это можно описать следующим образом:

Земля, как полагают, имеет радиус 6371 км. Используем это в Javascript-коде:

Вызов distanceBetweenLocations выглядит следующим образом:

Последнее замечание: из-за искажений на поверхности Земли этот метод не будет точным на 100%, однако точность будет примерно 0,05% и это достаточно хороший результат.

Источник

Расстояние между двумя точками на поверхности Земли

Jun 15, 2018 · 3 min read

Представим, что для чего-то понадобилось измерить расстояние между двумя точками на поверхности Земли, например, расстояние между Красной площадью и Эрмитажем. Конечно, можно попробовать решить задачу в лоб и посчитать евклидово расстояние по формуле:

Читайте также:  Как женщины чистят зубы

но этот подход не заработает по той простой причине, что евклидова метрика предназначена для вычисления расстояния на плоскости, а поверхность Земли — это всё-таки фигура, очень близкая к сфере.

Для решения такой задачи нужно обратиться к редко используемым тригонометрическим функциям.

Одна из таких функций, назы в ается синус-верзус, или, по-другому, версинус. Он представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Вычисляется версинус по формуле:

Гаверсинус — это просто половина версинуса, и именно эта функция поможет нам в решении задачи с поиском расстояния:

Для любых двух точек на сфере гаверсинус центрального угла между ними вычисляется по формуле:

  • d — это центральный угол между двумя точками, лежащими на большом круге
  • r — радиус сферы
  • φ₁ и φ₂ — широта первой и второй точек в радианах
  • λ₁ и λ₂ — долгота первой и второй точек в радианах

Обозначим временно гаверсинус отношения длины к радиусу как переменную h:

Тогда длину d можно вынести за знак равенства:

а для того, чтобы избавиться от дроби, выразим гаверсинус через арксинус:

затем раскроем переменную h:

подставим формулу гаверсинуса и получим формулу вычисления расстояния:

Теперь вернёмся к исходной задаче поиска расстояния между Красной площадью и Эрмитажем.

Для Красной площади Гугл подсказал координаты (55.7539° N, 37.6208° E), а для Эрмитажа — (59.9398° N, 30.3146° E).

Прежде, чем подставлять координаты в формулу, их нужно перевести в радианы.

Для того, чтобы вычислить длину, нужно полученное значение арксинуса умножить на два радиуса сферы. Подсчёты усложняет тот факт, что Земля не является идеальной сферой и её радиус немного варьируется. Воспользуемся усреднённым значением радиуса, которое, в соответствии со стандартом WGS84 приблизительно равно 6371 км:

Произведя умножение, получаем искомое значение, которое приблизительно равно 634.57 км.

Кстати, из-за того, что Земля — не идеальная сфера, погрешность расчётов с использованием этой формулы, составляет около 0,5%.

Источник

Расстояние между двумя точками на поверхности Земли

Jun 15, 2018 · 3 min read

Представим, что для чего-то понадобилось измерить расстояние между двумя точками на поверхности Земли, например, расстояние между Красной площадью и Эрмитажем. Конечно, можно попробовать решить задачу в лоб и посчитать евклидово расстояние по формуле:

но этот подход не заработает по той простой причине, что евклидова метрика предназначена для вычисления расстояния на плоскости, а поверхность Земли — это всё-таки фигура, очень близкая к сфере.

Для решения такой задачи нужно обратиться к редко используемым тригонометрическим функциям.

Одна из таких функций, назы в ается синус-верзус, или, по-другому, версинус. Он представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Вычисляется версинус по формуле:

Гаверсинус — это просто половина версинуса, и именно эта функция поможет нам в решении задачи с поиском расстояния:

Для любых двух точек на сфере гаверсинус центрального угла между ними вычисляется по формуле:

  • d — это центральный угол между двумя точками, лежащими на большом круге
  • r — радиус сферы
  • φ₁ и φ₂ — широта первой и второй точек в радианах
  • λ₁ и λ₂ — долгота первой и второй точек в радианах

Обозначим временно гаверсинус отношения длины к радиусу как переменную h:

Читайте также:  Чем отмыть ручку с велюрового дивана

Тогда длину d можно вынести за знак равенства:

а для того, чтобы избавиться от дроби, выразим гаверсинус через арксинус:

затем раскроем переменную h:

подставим формулу гаверсинуса и получим формулу вычисления расстояния:

Теперь вернёмся к исходной задаче поиска расстояния между Красной площадью и Эрмитажем.

Для Красной площади Гугл подсказал координаты (55.7539° N, 37.6208° E), а для Эрмитажа — (59.9398° N, 30.3146° E).

Прежде, чем подставлять координаты в формулу, их нужно перевести в радианы.

Для того, чтобы вычислить длину, нужно полученное значение арксинуса умножить на два радиуса сферы. Подсчёты усложняет тот факт, что Земля не является идеальной сферой и её радиус немного варьируется. Воспользуемся усреднённым значением радиуса, которое, в соответствии со стандартом WGS84 приблизительно равно 6371 км:

Произведя умножение, получаем искомое значение, которое приблизительно равно 634.57 км.

Кстати, из-за того, что Земля — не идеальная сфера, погрешность расчётов с использованием этой формулы, составляет около 0,5%.

Источник

Расчет евклидова расстояния с помощью NumPy

В этом руководстве мы рассмотрим, как рассчитать евклидово расстояние между двумя точками в Python с помощью Numpy.

Что такое евклидово расстояние?

Евклидово расстояние — это фундаментальная метрика расстояния, относящаяся к системам в евклидовом пространстве.

Евклидово пространство — это классическое геометрическое пространство, с которым вы знакомитесь на уроке математики, обычно связанное с 3 измерениями. Хотя его также можно приписать к любой неотрицательной целочисленной размерности.

Евклидово расстояние — кратчайшая прямая между двумя точками в евклидовом пространстве.

Название происходит от Евклида, который широко известен как «отец геометрии», так как это было единственное пространство, которое люди в то время обычно задумывали. Со временем в физике и математике наблюдались различные типы пространства, такие как пространство Аффин.

В 3-мерном евклидовом пространстве кратчайшая прямая между двумя точками всегда будет прямой линией между ними.

Учитывая этот факт, евклидово расстояние не всегда является наиболее полезной метрикой для отслеживания при работе со многими размерностями, мы сосредоточимся на 2D и 3D евклидовом пространстве для расчета евклидова расстояния.

Вообще говоря, евклидова расстояние широко используется в разработке 3D-миров, а также алгоритмов машинного обучения, которые включают в себя метрики расстояния, такие как K-ближайшие соседи. Как правило, евклидово расстояние будет представлять, насколько похожи две точки данных, предполагая, что некоторая кластеризация на основе других данных уже была выполнена.

Математическая формула

Математическая формула расчета евклидова расстояния между 2 точками в 2D пространстве:

Формула легко адаптируется к 3D-пространство, а также к любому размеру:

Общая формула может быть упрощена до:

Острый глаз может заметить сходство между евклидовым расстоянием и теоремой Пифагора:

На самом деле существует связь между ними — евклидовое расстояние рассчитывается с помощью теоремы Пифагора, учитывая декартовы координаты двух точек.

Из-за этого евклидова расстояние иногда называют расстоянием Пифагора, хотя прежнее название гораздо более известно.

Примечание: Две точки являются векторами, но выход должен быть скалярным.

Мы будем использовать NumPy для расчета этого расстояния для двух точек, и один и тот же подход используется для 2D и 3D пространств:

Расчет евклидова расстояния в Python с помощью NumPy

Во-первых, нам нужно будет установить библиотеку NumPy:

Теперь давайте импортируем его и настроим две наши точки с декартовыми координатами (0, 0, 0) и (3, 3, 3):

Вместо того, чтобы выполнять расчет вручную, мы будем использовать вспомогательные методы NumPy, чтобы сделать его еще проще!

Читайте также:  Mysql fetch array вывести все

Операции и математические функции, необходимые для расчета евклидова расстояния, довольно просты: сложение, вычитание, а также функция квадратного корня. Несколько слагаемых также можно заменить суммой:

NumPy предоставляет нам функцию np.sqrt(), представляющую функцию квадратного корня, а также функцию np.sum(), которая представляет собой сумму. При этом расчет евклидова расстояния в Python прост и интуитивно понятен:

Данная формула дает нам довольно простой результат:

Что равно 27. Осталось все, что получить квадратный корень из этого числа:

В истинном питоновом духе это можно сократить до одной строки:

И вы даже можете вместо этого использовать встроенные методы pow() и sum() математического модуля Python, хотя они требуют, чтобы вы немного поработали с вводом, который удобно абстрагируется с помощью NumPy, так как функция pow() работает только со скалярами (каждый элемент в массиве индивидуально) и принимает аргумент — в какой степени вы увеличиваете число.

Этот подход, однако, интуитивно больше похож на формулу, которую мы использовали раньше:

Это также приводит к:

np.linalg.norm()

Функция np.linalg.norm() представляет математическую норму. По сути, нормой вектора является его длина. Эта длина не обязательно должна быть евклидовым расстоянием, а может быть и другими расстояниями. Евклидово расстояние-это норма L2 вектора (иногда известная как евклидова норма), и по умолчанию функция norm() использует L2 — параметр ord имеет значение 2.

Если бы вы установили для параметра ord какое-то другое значение p, вы бы рассчитали другие p-нормы. Например, норма L1 вектора-это расстояние Манхэттена!

Имея это в виду, мы можем использовать функцию np.linalg.norm() для легкого и гораздо более чистого вычисления евклидова расстояния, чем использование других функций:

Это приводит к печати расстояния L2/евклида:

Нормализация L2 и нормализация L1 широко используются в машинном обучении для нормализации входных данных.

Мы также можем использовать точечное произведение для расчета евклидова расстояния. В математике точечное произведение является результатом умножения двух векторов равной длины, а результатом является единственное число — скалярное значение. Из-за возвращаемого типа его иногда также называют «скалярным продуктом». Эту операцию часто называют внутренним произведением для двух векторов.

Для расчета точечного произведения между 2 векторами вы можете использовать следующую формулу:

С помощью NumPy мы можем использовать функцию np.dot(), передавая два вектора.

Если мы вычислим точечное произведение разницы между обеими точками с той же разницей — мы получим число, которое находится в зависимости от евклидова расстояния между этими двумя векторами. Извлечение квадратного корня из этого числа дает нам расстояние, которое мы ищем:

Конечно, вы также можете сократить это до однострочного:

Использование встроенной системы math.dist()

В Python есть встроенный метод в математическом модуле, который вычисляет расстояние между 2 точками в трехмерном пространстве. Однако это работает только с Python 3.8 или более поздней версии.

math.dist()принимает два параметра, которые являются двумя точками, и возвращает евклидово расстояние между этими точками.

Примечание: Обратите внимание, что две точки должны иметь одинаковые размеры (т.е. оба в 2d или 3d пространстве).

Теперь, чтобы вычислить Евклидово расстояние между этими двумя точками, мы просто заправляем их в метод thedistdist():

Заключение

Данная метрика используется во многих контекстах в интеллектуальном анализе данных, машинном обучении и ряде других областей и является одной из фундаментальных метрик расстояния.

Источник