Выведите формулу для определения углового ускорения

Таким образом, числовое значение углового ускорения в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения $1/T^2$ ($1/время^2$); в качестве единицы измерения обычно применяется $рад/с^2$ или, что то же, $1/с^2$ $(с^<-2>)$.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины $\omega $ и $\varepsilon $ имеют одинаковые знаки, и замедленным — когда знаки разные.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Угловое ускорение тела можно представить в виде вектора $\overrightarrow<\varepsilon >=\frac>

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным ($<\mathbf \varepsilon >$=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени $t_0$ угол $<\mathbf \varphi >$ = $<\mathbf \varphi >$0, а угловая скорость $<\mathbf \omega >$ = $<\mathbf \omega >$0 ($<\mathbf \omega >$0 — начальная угловая скорость).

Из формулы $\varepsilon =\frac

$\omega $ = $\omega_0$ + $\varepsilon $t, d$\varphi $ = $\omega $0dt + $\varepsilon tdt$.

Если величины $\omega $ и $\varepsilon $ имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.

Угловое ускорение связано с полным и тангенциальным. Для точки, неравномерно вращающейся по окружности радиуса R, $a_<\tau >=\varepsilon R$. Учитывая, что нормальное ускорение связано с угловой скоростью $a_n=<\omega >^2R$, для полного ускорения получаем: $a=\sqrt+a^2_n>=R\sqrt<<\varepsilon >^2+<\omega >^4>$. В случае равнопеременного движения $\omega =\varepsilon t$, $a_n=<\omega >^2R=<\varepsilon >^2t^2R$, $a=R\sqrt<<<\varepsilon >^2+\varepsilon >^4t^4>=R\varepsilon \sqrt<1+<\varepsilon >^2t^4>$

На рис.2 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.

Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис. 2.1 и рис. 2.3 он направлен вверх, на рис. 2.2 и рис. 2.4 — вниз.

При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно, и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.2 и рис.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно.

Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением $<\mathbf \varphi >$=$<\mathbf \alpha >$t3. Найти полное ускорение точки как функцию времени.

Найдём угловую скорость и угловое ускорение точки:

\[\omega =\frac

Источник

Угловое ускорение Как рассчитать и примеры

угловое ускорение это изменение, которое влияет на угловую скорость, принимая во внимание единицу времени. Он представлен греческой буквой альфа, α. Угловое ускорение является векторной величиной; следовательно, он состоит из модуля, направления и смысла.

Единицей измерения углового ускорения в Международной системе является радиан в секунду в квадрате. Таким образом, угловое ускорение позволяет определить, как угловая скорость изменяется во времени. Угловое ускорение, связанное с равномерно ускоренными круговыми движениями, часто изучается.

Таким образом, при равномерно ускоренном круговом движении значение углового ускорения является постоянным. Наоборот, при равномерном круговом движении значение углового ускорения равно нулю. Угловое ускорение эквивалентно в круговом движении тангенциальному или линейному ускорению при прямолинейном движении.

На самом деле его значение прямо пропорционально значению тангенциального ускорения. Таким образом, чем больше угловое ускорение колес велосипеда, тем больше испытываемое ускорение.

Следовательно, угловое ускорение присутствует как в колесах велосипеда, так и в колесах любого другого транспортного средства, при условии изменения скорости вращения колеса..

Аналогично, угловое ускорение также присутствует в колесе, поскольку оно испытывает равномерно ускоренное круговое движение, когда оно начинает свое движение. Конечно, угловое ускорение также можно найти в карусели.

• 1 Как рассчитать угловое ускорение?
  • 1.1 Равномерно ускоренное круговое движение
  • 1.2 Крутящий момент и угловое ускорение
• 2 примера
  • 2.1 Первый пример
  • 2.2 Второй пример
  • 2.3 Третий пример
• 3 Ссылки

Как рассчитать угловое ускорение?

В общем, мгновенное угловое ускорение определяется из следующего выражения:

В этой формуле ω — угловая скорость вектора, а t — время.

Среднее угловое ускорение также можно рассчитать из следующего выражения:

В частном случае плоского движения бывает, что как угловая скорость, так и угловое ускорение являются векторами с направлением, перпендикулярным плоскости движения..

С другой стороны, модуль углового ускорения можно рассчитать по линейному ускорению с помощью следующего выражения:

В этой формуле а — тангенциальное или линейное ускорение; и R — радиус вращения кругового движения.

Круговое движение равномерно ускорено

Как уже упоминалось выше, угловое ускорение присутствует в равномерно ускоренном круговом движении. По этой причине интересно знать уравнения, которые управляют этим движением:

θ = θ₀ + ω₀ ∙ t + 0,5 ∙ α ∙ t 2

В этих выражениях θ — угол, пройденный в круговом движении, θ₀ начальный угол, ω₀ начальная угловая скорость, а ω угловая скорость.

Крутящий момент и угловое ускорение

В случае линейного движения, согласно второму закону Ньютона, для того, чтобы тело приобрело определенное ускорение, требуется сила. Эта сила является результатом умножения массы тела и ускорения, которое испытало то же самое.

Однако в случае кругового движения сила, необходимая для придания углового ускорения, называется крутящим моментом. Короче говоря, крутящий момент можно понимать как угловую силу. Обозначается греческой буквой τ (произносится «тау»).

Аналогичным образом, необходимо учитывать, что во вращательном движении момент инерции I тела выполняет роль массы в линейном движении. Таким образом, крутящий момент кругового движения рассчитывается по следующему выражению:

В этом выражении I — момент инерции тела относительно оси вращения.

примеров

Первый пример

Определить мгновенное угловое ускорение движущегося тела, совершающего вращательное движение, с учетом выражения его положения во вращении Θ (t) = 4 т. 3 я. (Где i — единичный вектор в направлении оси x).

Также определите значение мгновенного углового ускорения, когда прошло 10 секунд с начала движения..

решение

Выражение угловой скорости можно получить из выражения положения:

ω (t) = d Θ / dt = 12 т 2 я (рад / с)

Как только мгновенная угловая скорость была вычислена, мгновенное угловое ускорение может быть вычислено как функция времени.

α (t) = dω / dt = 24 t i (рад / с) 2 )

Чтобы вычислить значение мгновенного углового ускорения по истечении 10 секунд, необходимо только заменить значение времени в предыдущем результате..

α (10) = = 240 i (рад / с) 2 )

Второй пример

Определите среднее угловое ускорение тела, которое испытывает круговое движение, зная, что его начальная угловая скорость была 40 рад / с и что через 20 секунд она достигла угловой скорости 120 рад / с..

решение

Из следующего выражения вы можете рассчитать среднее угловое ускорение:

Третий пример

Каково будет угловое ускорение колеса, которое начинает двигаться с равномерно ускоренным круговым движением, пока через 10 секунд оно не достигнет угловой скорости в 3 оборота в минуту? Каким будет тангенциальное ускорение кругового движения в этот период времени? Радиус колеса составляет 20 метров.

решение

Во-первых, необходимо преобразовать угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду. Для этого выполняется следующее преобразование:

ω_F = 3 об / мин = 3 ∙ (2 ∙ Π) / 60 = Π / 10 рад / с

Как только это преобразование выполнено, можно рассчитать угловое ускорение, учитывая, что:

Π / 10 = 0 + α ∙ 10

α = Π / 100 рад / с 2

А тангенциальное ускорение возникает в результате действия следующего выражения:

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела:

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

• если известно количество оборотов n за единицу времени t:
  
• если задан угол поворота φ за единицу времени:
  

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c -1 ].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с 2 ], [с -2 ]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

равномерное вращение ( ω — const)

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Формула для вычисления углового ускорения

Угловое ускорение – что это?

Угловое ускорение \(\varepsilon\) – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости при движении тела.

Единица измерения: \(\lbrack\varepsilon\rbrack=\frac1<с^2>\) или \(с^<-2>\)

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость \(\omega\) – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

1. \(\omega=\frac nt\) , где \(n\) – количество оборотов за единицу времени \(t\) .
2. \(\omega=\frac\varphi t\) , где \(\varphi\) – угол поворота, \(t\) – время, за которое он совершен.
3. \(\omega=\frac<2\pi>T\) , где \(Т\) – период обращения (время, за которое тело/точка совершает один оборот).
4. \(\omega=2\pi\nu\) , где \(\nu\) – числом оборотов в единицу времени.

Единица измерения угловой скорости в СИ: \(\lbrack\omega\rbrack=\frac<рад>с\)

Связь между угловой скоростью и нормальным (центростремительным) ускорением

Центростремительное (нормальное) ускорение \(a_n\) – это составляющая полного ускорения, которая характеризует изменение направления вектора скорости при криволинейном движении. Другим компонентом полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно характеризует изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

где \(V\) – скорость движения, \(R\) – радиус окружности.

Единица измерения в СИ: \(\lbrack a_n\rbrack=\frac м<с^2>\)

Итак, формула связывающая эти две величины:

Основные формулы для расчета углового ускорения

Значение углового ускорения в определенный момент времени вычисляется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Угловое ускорение маховика

\(\varepsilon=\frac\omega t=\frac<2\pi n>t\) , где \(n\) – количество оборотов за единицу времени \(t\) .

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением \(a_\tau\) называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

\(a_\tau=\varepsilon r\) , где \(\varepsilon\) – угловое ускорение, \(r\) – радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение \(\alpha\) есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.

Источник