Меню

Выведи формулу для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника

Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n — угольника?

Геометрия | 5 — 9 классы

Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n — угольника.

Сумма углов треугольника — 180 градусов.

Докажем, что сумма углов выпуклого n — угольника равна 180(n — 2) градусам.

Выберем одну из вершин и проведём из неё n — 2 диагонали.

Они разделят n — угольник на n — 2треугольника.

Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам, сумма углов n — угольника равна сумме углов всех треугольников.

Значит, сумма углов выпуклого n — угольника — 180(n — 2) градусов, что и требовалось доказать.

Сумма M углов выпуклого n — угольника вычисляется по формуле M = 180 градусов × (n — 2)?

Сумма M углов выпуклого n — угольника вычисляется по формуле M = 180 градусов × (n — 2).

Сколько углов у выпуклого треугольника , если сумма его углов равна 1260 градусов.

Введите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n — треугольника?

Введите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n — треугольника.

Формула для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника?

Формула для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

Подскажите : ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ВЫПУКЛОГО n — угольника?

Подскажите : ТЕОРЕМА О СУММЕ УГЛОВ ВЫПУКЛОГО n — угольника.

Сумма углов выпуклого n – угольника (формула)?

Сумма углов выпуклого n – угольника (формула).

Выведите формулу для вычесления суммы углов выпуклого n — угольника?

Выведите формулу для вычесления суммы углов выпуклого n — угольника.

Найдите сумму внутренных углов выпуклого семнадцати угольника?

Найдите сумму внутренных углов выпуклого семнадцати угольника.

Найдите сумму углов выпуклого двенадцати угольника?

Найдите сумму углов выпуклого двенадцати угольника.

Найдите сумму углов выпуклого двенадцати угольника?

Найдите сумму углов выпуклого двенадцати угольника!

Какой формулой определяется сумма внутренних углов выпуклого n — угольника?

Какой формулой определяется сумма внутренних углов выпуклого n — угольника?

На этой странице находится вопрос Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n — угольника?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Геометрия, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

9×12 : 3 = 36 ответ площадь боковой поверхности 36 я не уверена, но я думаю что это правильно надеюсь что я помогла.

AK = KB = 12 см смотри на фото.

Точка E расположена на расстоянии b от центра O квадрата со стороной a. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата, если отрезок OE перпендикулярен плоскости квадрата. Решение : Пусть одна из вершин квадрата обозначается точкой А. Рассмотрим..

Внутренний. Угол равен 70 градусов.

180 — 105 = 75 180 — 145 = 35 180 — 35 — 75 = 70 градусов Ответ : угол A = 70°.

Ветер образуется из — за разности в атмосферном давлении над разными участками Земли. Дует всегда с областей, где высокое давление в области, где низкое. Чем больше разница, тем сильнее будет ветер.

Ветер возникает в результате неравномерного распределения атмосферного давления и направлен от зоны высокого давления к зоне низкого давления. Вследствие непрерывного изменения давления во времени и пространстве скорость и направление ветра постоянн..

Да может вариант ответа б.

Углы квадрата равны 90°. ∠СВК = 90° — 60° = 30° СК = ВС• tg 30° = √6 : √3 = √2 Катет СК противолежит углу 30°, ⇒ гипотенуза ∆ СВК сторона ВК = 2 СК = 2 √2 Стороны квадрата равны. По т. Косинусов АК² = АВ² + ВК² — 2 АВ•ВК• cos60° АК² = 6 + 8 — 2 √6..

Параллельные прямые это прямые которые не пересекаются, а по рисунку видно , что 2 прямые пересекаются , а значит они не параллельны.

Источник

Работа учащейся 6 класса»Сумма углов выпуклого многоугольника»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»

Реферативная работа с элементами исследования по математике

Сумма углов выпуклого многоугольника

ученца 6 «Б» класса Ежкова Виктория

Руководитель: учитель математики

Путанова Светлана Владимировна

Адрес: 607220, Нижегородская область, город Арзамас, улица Пушкина, дом 138/1 тел. 7-40-50

Введение Глава I

1.1. Определение и виды многоугольников

1.2. Четырёхугольник и его виды Глава II

2.1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника

2.2. Сумма углов выпуклого многоугольника

3.1. Задачи на нахождение углов многоугольника Заключение

Введение

Однажды на уроке математики нам задали решить задачу. В ней было нужно найти угол треугольника, когда два других были известны. Из начальной школы мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. И тогда мне стало интересно: «А чему равна сумма углов четырех, пяти, шестиугольника? Зависит ли сумма углов многоугольника от их количества?»

Читайте также:  Чем отмыть грубые пятки

Цель исследования – узнать, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

1) Как можно больше узнать о многоугольниках. 2) Экспериментально определить, чему равна сумма углов четырёхугольника на примере пятнадцати разных четырехугольников.

3) Теоретически определить, чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника.

4) Вывести формулу для расчета суммы углов многоугольника.

5) Доказать или опровергнуть гипотезы.

6) Придумать свои задачи про многоугольники и решить их.

1) Предположим, что сумма углов каждого выпуклого многоугольника зависит от его формы и имеет свое значение.

2) Предположим, что сумма углов выпуклого многоугольника не зависит от его формы, а зависит только от количества углов.

Глава I 1.1. Определение и виды многоугольников

Изучив литературу и интернет источники я узнала, что многоугольником (на плоскости) называют геометрическую фигуру, ограниченную замкнутой ломаной линией. Звенья ломаной линии называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.

Все многоугольники делятся на выпуклые и невыпуклые.

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (т.е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон).

Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы (см. рис.).

Я решила сначала подробно исследовать четырёхугольники.

1.2. Четырёхугольник и его виды

Из всех четырёхугольников, в зависимости от их формы, особенно выделяют следующие:

2.1. Сумма углов выпуклого четырёхугольника

Для того чтобы определить зависит ли сумма углов четырехугольника от его формы, я решила провести эксперимент: нарисовала 15 различных четырёхугольников, для каждого измерила все его четыре угла и нашла их сумму (см. приложение 1)

В результате своего эксперимента, я заметила, что сумма углов любого четырехугольника либо равна 360°, либо чуть меньше, либо чуть больше. Значит, сумма углов выпуклого четырехугольника постоянна и не зависит от его формы. Почему же в некоторых случаях не получилось 360°? Вероятно, это погрешность транспортира. Как же можно было проверить мою гипотезу?

Попробуем доказать, что сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360°. Нарисуем произвольный четырехугольник, проведём диагональ, она разделит четырехугольник на два треугольника.

Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°, значит:

Заметим, что сумма углов многоугольника складывается из суммы углов всех треугольников. А так как сумма углов каждого треугольника равна 180°, то сумму углов выпуклого многоугольника можно найти, умножив число треугольников на 180◦:

Таким образом, я доказала, что сумма углов любого выпуклого многоугольника не зависит от его формы, а зависит только от количества углов. Следовательно, подтвердилась вторая гипотеза.

Глава III

3.1. Задачи на нахождение углов многоугольника (составлены автором) Задача № 1.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известны три угла: 1) Узнала, какие бывают виды многоугольников.

2) Подробно изучила виды четырехугольников.

3) Определила, чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника.

4) Вывела формулу для расчета суммы углов любого выпуклого многоугольника.

Источник

Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180(n-2), где n- число сторон в многоугольнике.

Возьмем любой многоугольник и поставим внутри его точку О. Затем эту точку О соединим со всеми вершинами многоугольника. Получится n треугольников, где n — число сторон многоугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. А сумма углов в n треугольниках будет равна 180n. А сумма углоа вокруг точки О равна 360 градусов. И если мы из 180n вычтем сумму углов вокруг точки О, то получится 180n — 360 = 180(n-2).

Что и требовалось доказать.

найдем высоту из треугольника с гипотенузой 5см и катетом 1/2 (6-4)=1см

квадрат высоты равен 5*5-1*1=24

Второй прямоугольный треугольник, где диагональ — гипотенуза имеет один катет высоту, а второй 1/2(6+4)=5

Гипотенуза равна корню квадратному из 5*5+24=25+24=49 или это 7см

ДАНО: плоскость АВС ; угол ACB = 90° ; AD перпендикулярен ( АВС ) ; ABC = 30° ; AB = 6 см ; DC = 2√3 см.

НАЙТИ: угол между ( АВС ) и ( DBC )
_______________________________

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно найти линейный угол двугранного угла.

Читайте также:  Чем чистить ванну новорожденному

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на прямой а ( ребре ), лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны прямой а ( ребру )

1) АD перпендикулярен ( АВС )

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости =>

AD перпендикулярен АС, АВ, ВС

2) AD перпендикулярен АС
АС перпендикулярен ВС

Значит, по теореме о трёх перпендикулярах
CD перпендикулярен ВС

Следовательно, угол АСD — линейный угол двугранного угла АВСD, то есть угол ACD — искомый угол между плоскостями АВС и DBC

3) Рассмотрим ∆ АВС ( угол АСВ = 90° ):

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Источник

Урок геометрии по теме «Сумма углов многоугольника». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;

  • исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
  • формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности ;
  • развивать логическое мышление ;
  • развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
  • формировать умение применять полученные знания для решения задач;
  • развивать коммуникативную культуру учащихся.

Великий русский ученый, гордость Земли Русской,

Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.

1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)

– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

2. Постановка проблемы (выход на тему урока).

Устная фронтальная работа.

Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)

– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.

В случае затруднения учитель задает вопросы:

– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)

Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.

Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.

3. Решение проблемы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.

Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?

– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)

– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.

Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.

По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)

– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.

Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)

– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?

(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)

– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)

Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника

чертеж n – количество вершин многоугольника Количество диагоналей, проведенных из одной вершины Количество полученных треугольников
4
5
6
7
n

– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.

Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.

После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.

Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).

– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.

Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?

– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0 )
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?

Читайте также:  Как отмыть кошачью мочу с чемодана

(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2) )(Слайд 8)

– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)

– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)

Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.

(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)

4. Применение полученных знаний.

Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.

Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)

Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.

Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 30 0 .

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 70 0 , 80 0 и 120 0 и 90 0 .

1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 170 0 , 80 0 и 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)

Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0. )

А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.

Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:

1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.

Доказательство записывается на доске:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

Далее демонстрируется видео: как можно проиллюстрировать этот факт с помощью картонной модели. (Слайд 13)

5. Закрепление изученного материала. Решение задач.

Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 45 0 , 68 0 , 73 0 и 56 0 ? Объясните свой ответ.

Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2), то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.

Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Решаем полученное уравнение

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

6. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.

Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?

Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.

Чья работа в группе была самой результативной?

7. Домашнее задание:

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.

2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.

Источник