Период колебания математического маятника вывести длину маятника

Формула периода колебаний математического маятника

Математический маятник

Математический маятник — это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot <10>^<-1>$м равен T=1 c?\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:

Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:

Вычислим искомое ускорение:

Ответ. $g=9,81\frac<м><с^2>$

Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$

Решение. Сделаем рисунок.

1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:

2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:

Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$; 2) $T_1=2\pi \sqrt<\frac>$

Источник

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac<м><с^2>$

Источник

Колебательное движение. Математический маятник

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Примеры колебательных движений:

• движение маятника в часах;
• колебание автомобиля на рессорах;
• покачивание деревьев на ветру;
• раскачивание качели;
• сокращения сердца и легких;
• движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу. Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ). Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A. В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале \(-A\leq x\leq A\). В положении равновесия x=0. Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c -1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Дано:
\(N=3\)
\(t=9\ c\)
__________________
\(T,\ f,\ L-?\)
Период колебаний: \(T=\frac tN\)
Частота колебаний: \(f=\frac 1T=\frac Nt\)
Длина нити: $$ T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\Rightarrow \sqrt<\frac Lg>=\frac<2\pi>\Rightarrow \frac Lg=\left(\frac<2\pi>\right)^2\Rightarrow L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2 $$ Подставляем: \begin T=\frac 93=3\ (c)\\ f=\frac 13\ (Гц)\\ L=9,8\cdot\left(\frac<3><2\pi>\right)^2\approx 2,234\ (м)\approx 223\ (см) \end Ответ: 3 с; 1/3 Гц; 223 см

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
\(f=20\ кГц=2\cdot 10^4\ Гц\)
\(t=1\ мин=60\ с\)
__________________
\(T,\ N-?\)
Период колебаний: \(T=\frac 1f\)
Частота колебаний за время \(t:\ N=ft\)
Подставляем: \begin T=\frac<1><2\cdot 10^4>=0,5\cdot 10^<-4>\ (c)=50\cdot 10^<-6>\ (c)=50\ (мкс)\\ N=2\cdot 10^4\cdot 60=1,2\cdot 10^6 \end Ответ: 50 мкс; 1,2·10 6

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Время полета из улья за нектаром \(t_1=\frac\)
Количество взмахов крылышками \(N_1=f_1 t_1=f_1\frac\)
Аналогично количество взмахов на пути назад \(N_2=f_2\frac\)
Найдем каждое из \(N\): \begin N_1=440\cdot\frac<600><8>=33000\\ N_2=320\cdot\frac<600><5>=38400 \end На пути обратно пчела с грузом делает больше взмахов. Искомая разность: $$ \triangle N=N_2-N_1=38400-33000=5400 $$ Ответ: 5400

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне (\(g_л=1,6\ м/с^2\)); б) на Марсе (\(g_м=3,6\ м/с^2\)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Длина нити: \begin T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\Rightarrow\sqrt <\frac Lg>=\frac<2\pi>\Rightarrow\frac Lg=\left( \frac<2\pi>\right)^2\Rightarrow L = g\left(\frac<2\pi>\right)^2 \end На Луне: $$ L_л=1,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0405\ (м)\approx 4,1\ (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0912\ (м)\approx 9,1\ (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2\pi\sqrt <\frac Lg>$$ где \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения.
Для работы принять \(g\approx 9,80665\ м/с^2\).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний \(T_1=1 с;\ T_2=2 с\).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_1\).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний \(T_<1\ эксп>\) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_2\). Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T_<2\ эксп>\).
5. При длине подвеса \(L_2\) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T ‘\). Сравните \(T ‘\) и \(T_<2\ эксп>\).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей \begin L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2\\ T_1=1\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,248\ (м)=24,8\ (см)\\ T_2=2\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<2><2\pi>\right)^2\approx 0,9994\ (м)=99,4\ (см) \end

Определение \(T_<1\ эксп>\)
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ c\)
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
\(t,\ c\)	9,7	10,2	9,8	9,9	10,3	50
\(\triangle\ c\)	0,3	0,2	0,2	0,1	0,3	1

\begin t_=\frac<50><5>=10\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(10,0\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<1\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1>\cdot 100\text<%>=2,0\text <%>$$

Определение \(T_<2\ эксп>\)
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
\(t,\ c\)	19,7	20,1	19,8	20,2	19,7	99,5
\(\triangle\ c\)	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2	1

\begin t_=\frac<99,5><5>=19,9\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,9\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<2\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1,99>\cdot 100\text<%>\approx 1,0\text <%>$$

Определение \(T ‘\) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
\(t,\ c\)	20,2	19,7	19,6	20,0	20,3	99,8
\(\triangle\ c\)	0,24	0,26	0,36	0,04	0,34	1,24

\begin t_=\frac<99,8><5>=19,96\\ \triangle_=\frac<1,24><5>\approx 0,25 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,25\right\>=0,25\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,96\pm 0,25)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T’=(1,996\pm 0,025)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>\cdot 100\text<%>=\frac<0,025><1,996>\cdot 100\text<%>\approx 1,3\text <%>$$

Полученные на опыте интервалы для \(T_<2\ эксп>\) и \(T’\) (одинаковая длина нити \(L_2\) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): \begin 1,97\leq T_<2\ эксп>\leq 2,01\\ 1,971\leq T’\leq 2,021 \end Таким образом, \(T_<2\ эксп>\approx T’\), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний \(T_1=1\ с;\ T_2=2\ с\).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_1=24,8\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=2,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=1,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 200 г равен $$ T’=(1,996\pm 0,025)\ c,\ \ \delta=1,3\text <%>$$ Формула \(T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.

Источник